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\chapter{大数定律与中心极限定理}
大数定律与中心极限定理

\section{特征函数}

设 $ p (x) $ 是随机变量 $ X $ 的密度函数,
则 $ p (x) $ 的傅里叶变换是
\begin{equation*}
    \varphi (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \ee^{itx} p (x) \dd x,
\end{equation*}
其中 $ i = \sqrt{-1} $ 是虚数单位.
由数学期望的概念知,
$ \varphi (t) $ 恰好是 $ E \bigl( \ee^{itx} \bigr) $.
这就是本节要讨论的特征函数,
它是处理许多概率论问题的有力工具,
它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算 (积分运算) 转换成乘法运算,
还能把求分布的各阶原点矩 (积分运算) 转换成微分运算.
特别它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题,
下面从特征函数的定义开始介绍它们.

\subsection{特征函数的定义}

\begin{definition}{}{def:4.1.1}
    设 $ X $ 是一个随机变量,
    称
    \begin{equation}\label{eq:4.1.1}
        \varphi (t) = E \bigl( \ee^{itx} \bigr), \; -\infty \leq t \leq +\infty,
    \end{equation}
    为 $ X $ 的\textbf{特征函数}\index{特征函数}.
\end{definition}

因为 $ \lvert \ee^{itx} \rvert \leq 1 $,
所以 $ E \bigl( \ee^{itX} \bigr) $ 总是存在的,
即任一随机变量的特征函数总是存在的.

当离散随机变量 $ X $ 的分布列为 $ p_k = P ( X = x_k ) $, $ k = 1,2,\dotsc $,
则 $ X $ 的特征函数为
\begin{equation}\label{eq:4.1.2}
    \varphi (t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \ee^{itx_k} p_k, \; -\infty \leq t \leq +\infty.
\end{equation}

当连续随机变量 $ X $ 的密度函数为 $ p (x) $,
则 $ X $ 的特征函数为
\begin{equation}\label{ch9:eq:4.1.3}
    \varphi (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \ee^{itx} p (x) \dd x, \; -\infty \leq t \leq +\infty.
\end{equation}

与随机变量的数学期望、方差及各阶矩一样,
特征函数只依赖于随机变量的分布,
分布相同则特征函数也相同,
所以我们也常称为某\textbf{分布的特征函数}\index{G!分布的特征函数}.


\begin{example}\label{exam:4.1.1}
    常用分布的特征函数
    \begin{enumerate}
        \item
        \textbf{单点分布}\index{单点分布}: $ P (X = a) = 1 $, 
        其特征函数为
        \begin{equation*}
            \varphi (t) = \ee^{itz}.
        \end{equation*}
        \item\label{exam:4.1.1.2}
        \textbf{0-1分布}\index{0-1分布}: $ P( X = x ) = p^x  ( 1 - p )^{1 - x} $, $ x = 0,1 $,
        其特征函数为
        \begin{equation*}
            \varphi (t) = p \ee^{it} + q, \quad \text{其中} \ q= 1 - p.
        \end{equation*}
        \item
        \textbf{泊松分布}\index{泊松分布}: $ P ( X = k ) = ( \lambda^k/k! ) \ee^{-\lambda} $, $ k = 0, 1, \dotsc $, 其特征函数为
        \begin{equation*}
            \varphi (t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \ee^{ikt} \frac{\lambda^k}{k!} \ee^{-\lambda} = \ee^{\lambda} \ee^{\lambda \ee^{it}} = \ee^{\lambda ( \ee^{it} ) -1}.
        \end{equation*}
        \item
        \textbf{均匀分布}\index{均匀分布} $ U ( a,b ) $: 因为密度函数为
        \begin{equation*}
            p (x) = 
            \begin{cases}
                \dfrac{1}{b-a}, & a < x < b,\\
                0, & \text{其他}.
            \end{cases}
        \end{equation*}
        所以特征函数为
        \begin{equation*}
            \varphi (t) = \int_a^b \frac{\ee^{itx}}{b - a} \dd x = \frac{\ee^{ibt} - \ee^{iat}}{it (b-a)}.
        \end{equation*}
        \item
        \textbf{标准正态分布}\index{标准正态分布} $ N (0,1) $: 因为密度函数为
        \begin{equation*}
            p (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right), \quad - \infty < x < + \infty.
        \end{equation*}
        所以特征函数为
        \begin{align*}
            \varphi (t) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left( itx - \frac{x^2}{2} \right) \dd x\\
            & = \exp \left( -\frac{t^2}{2} \right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left( -\frac{( x - it )^2}{2} \right) \dd x\\
            & = \exp \left( -\frac{t^2}{2} \right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty -it}^{+\infty -it} \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) \dd x\\
            & = \exp \left( -\frac{t^2}{2} \right),
        \end{align*}
        其中
        \begin{equation*}
            \int_{-\infty -it}^{+\infty -it} \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) \dd x = \sqrt{2\pi}
        \end{equation*}
        是利用复变函数中的围道积分求得的.
        有了标准正态分布的特征函数,
        再利用下节给出的特征函数的性质,
        就很容易得到一般正态分布 $ N ( \mu, \sigma^2 ) $ 的特征函数,
        见例~\ref{exam:4.1.2}.
        \item
        \textbf{指数分布}\index{指数分布} $ Exp ( \lambda ) $: 因为密度函数为
        \begin{equation*}
            p (x) =
            \begin{cases}
                \lambda \ee^{-\lambda x}, & x > 0,\\
                0, & x \leq 0.
            \end{cases}
        \end{equation*}
        所以特征函数为
        \begin{align*}
            \varphi (t) & = \int_0^{+\infty} \ee^{itx} \lambda \ee^{-\lambda x} \dd x\\
            & = \lambda \left( \int_0^{+\infty} \cos (tx) \ee^{-\lambda x} \dd x + i \int_0^{+\infty} \sin (tx) \ee^{-\lambda x} \dd x \right)\\
            & = \lambda \left( \frac{\lambda}{\lambda^2 + t^2} + i \frac{t}{\lambda^2 + t^2} \right)\\
            & = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-1}.
        \end{align*}
        以上积分中用到了复变函数中的欧拉公式: $ \ee^{itx} = \cos (tx) + i \sin ( tx) $.
    \end{enumerate}
\end{example}

\subsection{特征函数的性质}

现在我们来研究特征函数的一些性质,
其中 $ \varphi_X (t) $ 表示 $ X $ 的特征函数,
其他类似.

\begin{property}\label{prop:4.1.1}
    \begin{equation}\label{eq:4.1.4}
        \lvert \varphi (t) \rvert \leq \varphi (0) = 1.
    \end{equation}
\end{property}

\begin{property}\label{prop:4.1.2}
    \begin{equation}\label{eq:4.1.5}
        \varphi (-t) = \overline{\varphi (t)},
    \end{equation}
    其中 $ \overline{\varphi (t)} $ 表示 $ \varphi (t) $ 的共轭.
\end{property}

\begin{property}\label{prop:4.1.3}
    若 $ Y = aX + b $, 其中 $ a,b $ 是常数, 则
    \begin{equation}\label{eq:4.1.6}
        \varphi_Y (t) = \ee^{ibt} \varphi_X (at).
    \end{equation}
\end{property}

\begin{property}\label{prop:4.1.4}
    独立随机变量和的特征函数为特征函数的积,
    即设 $ X $ 与 $ Y $ 相互独立, 则
    \begin{equation}\label{eq:4.1.7}
        \varphi_{X+Y} (t) = \varphi_X (t) \cdot \varphi_Y (t).
    \end{equation}
\end{property}

\begin{property}\label{prop:4.1.5}
    若 $ E (x^l) $ 存在,
    则 $ X $ 的特征函数 $ \varphi(t) $ 可 $ l $ 次求导,
    且对 $ 1 \leq k \leq l $, 有
    \begin{equation}\label{eq:4.1.8}
        \varphi^{(k)} (0) = i^k E ( X^k ).
    \end{equation}
    上式提供了一条求随机变量的各阶矩的途径,
    特别可用下式去求数学期望和方差.
    \begin{equation}\label{eq:4.1.9}
        E (X) = \frac{\varphi' (0)}{i}, \quad \mathrm{Var} (X) = - \varphi'' (0) + \bigl( \varphi' (0) \bigr)^2.
    \end{equation}
\end{property}

\begin{proof}
    在此我们仅对连续场合进行证明,
    而在离散场合的证明是类似的.
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{align*}
            \lvert \varphi (t) \rvert & = \left\lvert \int_{-\infty}^{+\infty} \ee^{itx} p (x) \dd x \right\rvert 
            \leq \int_{-\infty}^{+\infty} \left\lvert \ee^{itx} \right\rvert p (x) \dd x\\
            & = \int_{-\infty}^{+\infty} p (x) \dd x
            = \varphi (0)
            = 1.
        \end{align*}
        \item 
        \begin{equation*}
            \varphi (-t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \ee^{-itx} p (x) \dd x
            = \overline{\int_{-\infty}^{+\infty} \ee^{itx} p (x) \dd x}
            = \overline{\varphi (t)}.
        \end{equation*}
        \item
        \begin{equation*}
            \varphi_Y (t) = E ( \ee^{it (aX + b)} )
            = \ee^{ibt} E ( \ee^{iatX} ) = \ee^{ibt} \varphi (at).
        \end{equation*}
        \item
        因为 $ X $ 与 $ Y $ 相互独立, 所以 $ \ee^{itX} $ 与 $ \ee^{itY} $ 也是独立的, 从而有
        \begin{equation*}
            E \left( \ee^{it ( X + Y )} \right) = E \left( \ee^{itX} \ee^{itY} \right) = \varphi_X (t) \cdot \varphi_Y (t).
        \end{equation*}
        \item
        因为 $ E \left( X^l \right) $ 存在, 也就是
        \begin{equation*}
            \int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x \rvert^l p (x) \dd x < +\infty,
        \end{equation*}
        于是含参变量 $ t $ 的广义积分 $ \int_{-\infty}^{+\infty} \ee^{itx} p(x) \dd x $ 可以对 $ t $ 求导 $ l $ 次, 于是对 $ 0 \leq k \leq l $, 有
        \begin{equation*}
            \varphi ^{(k)} (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} i^k x^k \ee^{itx} p (x) \dd x = i^k E \left( X^k \ee^{itX} \right).
        \end{equation*}
        令 $ t = 0 $ 即得
        \begin{equation*}
            \varphi^{(k)} (0) = i^k E \left( X^k \right).
        \end{equation*}
    \end{enumerate}
    至此上述5条性质全部得证.
\end{proof}

下例是利用 \eqref{eq:4.1.6} 和 \eqref{eq:4.1.7} 来求一些常用分布的特征函数.


\begin{example}\label{exam:4.1.2}
    常用分布的特征函数 (二)

    \begin{enumerate}
        \item
        \textbf{二项分布}\index{二项分布} $ b (n, p) $: 设 $ Y \sim b (n, p) $, 则 $ Y = X_1 + x_2 + \dotsb X_n $, 其中诸 $ X_i $ 是相互独立同分布的随机变量, 且 $ X_{i} \sim b (1, p) $, 由 例~\ref{exam:4.1.2} \ref{exam:4.1.1.2} 知
        \begin{equation*}
            \varphi_{X_i} (t) = p \ee^{it} + q,
        \end{equation*}
        所以由独立随机变量和的特征函数为特征函数的积, 得
        \begin{equation*}
            \varphi_Y (t) = \left( p \ee^{it} + q \right)^{\pi}
        \end{equation*}
        \item
        \textbf{正态分布}\index{正态分布} $ N (\mu, \sigma^2) $: 设 $ Y \sim N (\mu, \sigma^2) $, 则 $ X = (Y - \mu) / \sigma \sim N (0, 1) $.
        由例~\ref{exam:4.1.1} 知
        \begin{equation*}
            \varphi_{X} (t) = \exp \left( -\frac{t^2}{2} \right).
        \end{equation*}
        所以由 $ Y = \sigma X + \mu $ 得
        \begin{equation*}
            \varphi_Y (t) = \varphi_{\alpha X + \mu} (t) =\ee^{i \mu t} \varphi_X ( \sigma t ) = \exp \left( i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right).
        \end{equation*}
        \item 
        \textbf{伽玛分布}\index{伽玛分布} $ Ga ( n, \lambda ) $: 设 $ Y \sim Ga ( n, \lambda ) $, 则$ Y = X_1 + X_2 + \dotsb + X_n $, 其中 $ X_i $ 独立同分布, 且 $ X_i \sim Exp ( \lambda ) $.
        由例~\ref{exam:4.1.1} 知
        \begin{equation*}
            \varphi_{X_i} (t) = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-1}.
        \end{equation*}
        所以由独立随机变量和的特征函数为特征函数的积, 得
        \begin{equation*}
            \varphi_Y (t) = \left( \varphi_{X_i} (t) \right)^n = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-n}.
        \end{equation*}
        进一步, 当 $ a $为任一正实数时, 我们可得 $ Ga ( n, \lambda ) $ 分布的特征函数为
        \begin{equation*}
            \varphi(t) = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-a}.
        \end{equation*}
        \item
        $ \mathbf{\chi^2 (n)} $ \textbf{分布}\index{$ \mathbf{\chi^2 (n)} $ 分布}: 因为 $ \chi^2 (n) = Ga ( n/2, 1/2 ) $, 所以 $ \chi^2 (n) $ 分布的特征函数为
        \begin{equation*}
            \varphi (t) = ( 1 - 2it )^{-n/2}.
        \end{equation*}
    \end{enumerate}
\end{example}

上述常用分布的特征函数汇总在表~\ref{tab:4.1.1} 中.

\begin{table}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.6}
    \centering
    \caption{常用分布的特征函数}\label{tab:4.1.1}
    \begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash}m{0.15\linewidth}>{\centering\arraybackslash}m{0.45\linewidth}>{\centering\arraybackslash}m{0.3\linewidth}}
        \toprule
        分布 & 分布列 $ p_k $ 或分布密度 $ p (x) $ & 特征函数 $ \varphi (t) $\\
        \midrule
        单点分布 & $ P (X = a) = 1 $ & $ \ee^{itz} $\\
        0-1分布 & $ P_k = p^k  q^{1 - k} $, $ k = 0,1 $ & $ p \ee^{it} + q $\\
        二项分布 $ b (n, p) $ & $ p_k = \binom{n}{k} p^k q^{1-k} $, $ k = 0,1,\dotsc,n $ & $ \left( p \ee^{it} + q \right)^{\pi} $\\
        泊松分布 $ P (\lambda) $ & $ P_k = ( \lambda^k/k! ) \ee^{-\lambda} $, $ k = 0, 1, \dotsc $ & $ \ee^{\lambda ( \ee^{it} ) -1} $\\
        均匀分布 $ U (a,b) $ & $ p (x) = 1/(b-a) $, $ a \leq x \leq b $ & $ \dfrac{\ee^{ibt} - \ee^{iat}}{it (b-a)} $\\
        正态分布 $ N (\mu, \sigma^2) $ & $ p (x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left( - \dfrac{( x - \mu )^2}{2 \sigma^2} \right) $ & $ \exp \left( i \mu t - \dfrac{\sigma^2 t^2}{2} \right) $\\
        指数分布 $ Exp ( \lambda ) $ & $ p (x) = \lambda \ee^{-\lambda x} $, $ x > 0 $ & $ \left( 1 - \dfrac{it}{\lambda} \right)^{-1} $\\
        伽玛分布 $ Ga ( a, \lambda ) $ & $ p (x) = \dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma (a)} x^{\alpha - 1} \ee^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ & $ \left( 1 - \dfrac{it}{\lambda} \right)^{-a} $\\
        $ \chi^2 (n) $ 分布 & $ p (x) = \dfrac{x^{n/2 - 1} \ee^{-x/2}}{\Gamma (n/2) 2^{n/2}} $, $ x > 0 $ & $ ( 1 - 2it )^{-n/2} $\\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

下例是利用 \eqref{eq:4.1.8} 来求分布的数学期望和方差.

\begin{example}\label{exam:4.1.3}
    试利用特征函数的方法求伽玛分布 $ Ga ( n, \lambda ) $ 的数学期望和方差.
\end{example}

\begin{solution}
    因为伽玛分布 $ Ga ( a, \lambda ) $ 的特征函数及其一、二阶导数为
    \begin{gather*}
        \varphi (t) = \left( 1 - \dfrac{it}{\lambda} \right)^{-a},\\
        \varphi' (t) = \frac{ai}{\lambda} \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-a-1}, \ \varphi' (0) = \frac{ai}{\lambda},\\
        \varphi'' (t) = \frac{a ( a + 1 ) i^2}{\lambda^2} \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-a-2}, \ \varphi'' (0) = -\frac{a (a+1)}{\lambda^2},
    \end{gather*}
    所以由 \eqref{eq:4.1.9} 得
    \begin{align*}
        E (X) & = \frac{\varphi' (0)}{i} = \frac{a}{\lambda},\\
        Var (X) & = - \varphi'' (0) + \bigl( \varphi' (0) \bigr)^2 = \frac{a (a+1)}{\lambda^2} + \left( \frac{ai}{\lambda} \right)^2\\
        & = \frac{a (a+1)}{\lambda^2} - \frac{a^2}{\lambda^2} = \frac{a}{\lambda^2}.
    \end{align*}
\end{solution}

特征函数还有以下一些优良性质.

\begin{theorem}{一致连续性}{thm:4.1.1}
    随机变量 $ X $ 的特征函数 $ \varphi (t) $ 在 $ ( -\infty, +\infty ) $ 上一致连续.
\end{theorem}

\begin{proof}
    设 $ X $ 是连续随机变量 (离散随机变量的证明是类似的), 其密度函数为 $ p (x) $, 则对任意实数 $t$, $h$ 和正数$ a > 0 $, 有
    \begin{align*}
        \lvert \varphi ( t + h ) - \varphi (t) \rvert & = \left\lvert \int_{-\infty}^{+\infty} \bigl( \ee^{ihx} - 1 \bigr) \ee^{itx} p (x) \dd x \right\rvert\\
        & \leq \int_{-\infty}^{+\infty} \bigl\lvert \ee^{ihx} - 1 \bigr\rvert p (x) \dd x\\
        & \leq \int_{-a}^a \bigl\lvert \ee^{ihx} - 1 \bigr\rvert p (x) \dd x + 2 \int_{\lvert x \rvert \geq a} p (x) \dd x.
    \end{align*}
    对任意的 $ \varepsilon > 0 $, 先取定一个充分大的 $ a $, 使得
    \begin{equation*}
        2 \int_{\lvert x \rvert \geq a} p (x) \dd x < \frac{\varepsilon}{2},
    \end{equation*}
    然后对任意的$ x \in [-a,a] $, 只要取$ \delta = \varepsilon/(2a) $, 则当$ \lvert h \rvert < \delta $ 时, 便有
    \begin{align*}
        \lvert \ee^{ihx} - 1 \rvert & = \left\lvert \ee^{i \frac{h}{2} x} \left( \ee^{i \frac{h}{2} x} - \ee^{-i \frac{h}{2} x} \right) \right\rvert\\
        & = 2 \left\lvert \sin \frac{hx}{2} \right\rvert
        \leq 2 \left\lvert \frac{hx}{2} \right\rvert
        < ha
        < \frac{\varepsilon}{2},
    \end{align*}
    即 $ \varphi (t) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上一致连续.
\end{proof}

\begin{theorem}{非负定性}{thm:4.1.2}
    随机变量 $ X $ 的特征函数 $ \varphi (t) $ 是非负定的, 即对任意正整数 $ n $, 及 $ n $ 个实数 $ t_1, t_2, \dotsc, t_n $ 和 $ n $ 个复数 $ z_1, z_2, \dotsc, z_n $, 有
    \begin{equation}\label{eq:4.1.10}
        \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n \varphi ( t_k - t_j ) z_k \overline{z_j} \geq 0.
    \end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
    仍设 $ X $ 是连续随机变量 (离散随机变量的证明是类似的), 其密度函数为 $ p (x) $, 则有
    \begin{align*}
        \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n \varphi ( t_k - t_j ) z_k \overline{z_j}
        & = \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n z_k \overline{z_j} \int_{-\infty}^{+\infty} \ee^{i (t_k - t_j) x} p (x) \dd x\\
        & = \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n z_k \overline{z_j} \ee^{i (t_k - t_j) x} p (x) \dd x\\
        & = \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \sum_{k=1}^n z_k \ee^{i t_k x} \right) \left( \sum_{j=1}^n \overline{z_j} \ee^{-i t_j x} \right) p (x) \dd x\\
        & = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\lvert \sum_{k=1}^n z_k \ee^{i t_k x} \right\lvert^2 p (x) \dd x \geq 0.
    \end{align*}
    这就证明了 \eqref{eq:4.1.10} 式.
\end{proof}

由特征函数的定义可知, 随机变量的分布惟一地确定了它的特征函数.
前面的讨论实际上都是从随机变量的分布出发, 讨论特征函数及其性质.
要注意的是: 如果两个分布的数学期望、方差及各阶矩都相等, 也无法证明此两个分布相等.
但特征函数却不同, 它有着比数学期望、方差及各阶矩更优良的性质: 即特征函数也完全决定了分布, 也就是说, 两个分布函数相等当且仅当它们所对应的特征函数相等.

以下定理~\ref{thm:4.1.3} 给出了由特征函数求分布函数的公式, 定理~\ref{thm:4.1.5} 给出了连续随机变量时由特征函数求密度函数的公式.
而定理~\ref{thm:4.1.4} 说明了分布函数与特征函数是一一对应的.

\begin{theorem}{逆转公式}{thm:4.1.3}
    设 $ F (x) $ 和 $ \varphi (t) $ 分别为随机变量 $ X $ 的分布函数和特征函数, 则对 $ F (x) $ 的任意两个连续点 $ x_1 < x_2 $, 有
    \begin{equation}\label{eq:4.1.11}
        F (x_2) - F (x_1) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \frac{\ee^{-itx_1}  - \ee^{-itx_2}}{it} \varphi (t) \dd t.
    \end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
    设 $ X $ 是连续随机变量 (离散随机变量的证明是类似的), 其密度函数为 $ p (x) $ .
    记
    \begin{align*}
        J_T & = \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \frac{\ee^{-itx_1}  - \ee^{-itx_2}}{it} \varphi (t) \dd t\\
        & = \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\ee^{-itx_1}  - \ee^{-itx_2}}{it} \ee^{itx} p (x) \right] \dd t.
    \end{align*}
    对任意的实数 $ a $, 有
    \begin{equation*}
        \left\lvert \ee^{ia} -1 \right\rvert \leq \lvert a \rvert,
    \end{equation*}
    事实上, 对 $ a \geq 0 $ 有
    \begin{equation*}
        \left\lvert \ee^{ia} - 1 \right\rvert = \left\lvert \int_0^t \ee^{ix} \dd x \right\rvert \leq \int_0^a \left\lvert \ee^{ix} \right\rvert \dd x = 0.
    \end{equation*}
\end{proof}
